A. Chứng minh chi phí bình quân (ATC) cực tiểu khi ATC bằng chi phí biên (MC)
Bạn mở cửa hàng bán nước mía.
Chi phí mặt bằng, bàn ghế và dụng cụ mua ban đầu (simply) có thể xem là chi phí cố định (Fixed cost – FC): 10 đồng. Nó được xem là cố định khi bạn bán được nước mía hay không, chi phí này không đổi.
Khi bạn bán 1 ly nước mía (tính một cách đơn giản), bạn mất 2 đồng tiền mía, nước đá,…. cho mỗi ly nước mía bán được. Giả sử bạn bán được 20 ly nước mía, tốn 40 đồng phát sinh. 40 đồng được gọi là biến phí (Variable Cost- VC).
x: Sản lượng (số ly nước mía)
y: Tổn chi phí
Hàm tổng chi phí sẽ là y = 2x + 10
Chi phí biên là chi phí phát sinh thêm, khi tạo ra thêm 1 đơn vị sản phẩm. 2 đồng được gọi là chi phí biên (Marginal Cost – MC).
Chi phí tổng (Total Cost – TC) = FC + VC
x: sản lượng
y: tổng chi phí
y = f(x) là hàm tổng chi phí
Chi phí biên tại sản lượng x’
MC = Đạo hàm VC = Đạo hàm TC. (Vì FC là hằng số, đạo hàm của hằng số là 0).
Chi phí tổng bình quân (Average Total Cost – ATC) ATC = (FC+VC)/x
ATC đạt cực tiểu khi: ATC = MC
AFC và AVC đạt cực tiểu khi AFC, AVC bằng MC.
Chứng minh:
Đối với hàm số liên tục, khi đạo hàm bằng 0, hàm số đạt cực trị. Nghĩa là khi đạo hàm bậc 1 bằng 0, hàm số đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
Chỉ cần chứng minh tại điểm giá trị bình quân (Average Value) bằng giá trị cận biên (Marginal value), hàm số giá trị bình quân có đạo hàm bằng 0. Thì có thể chứng minh được tại điểm đó, hàm số giá trị bình quân đạt giá trị cực đại hoặc cực tiểu.
Giá trị: y = f(x)
Giá trị bình quân: u(x) = f(x)/x
Giá trị cận biên: [f(x) – f(x’)]/ x – x’, x tiến về x’
Khi giá trị bình quân bằng giá trị cận biên
<=> f(x)/x = [f(x) – f(x’)]/ (x – x’)
Sau khi rút gọn phương trình
<=> f(x)/x = f(x’)/x’
<=> f(x)/x – f(x’)/x’ = 0
Định nghĩa của đạo hàm của hàm trung bình: u(x)’
Lim x-> x’ [u(x) – u(x’)]/(x-x’) = [f(x)/x – f(x’)/x’]/(x-x’) = 0/(x-x’) = 0
Do đó, tại điểm x, khi giá trị bình quân bằng giá trị cận biên. Nghĩa là tại điểm x, đạo hàm của giá trị bình quân là 0. Nghĩa là giá trị bình quân đạt cực trị.
B. Chứng minh doanh thu bình quân (AR) cực đại khi AR bằng doanh thu biên (RC)
Tương tự như vậy, doanh thu bình quân đạt cực đại khi doah thu bình quân bằng doanh thu biên. Lợi nhuận bình quân đạt cực đại khi lợi nhuận bình quân bằng lợi nhuận biên.
C. Lợi nhuận đạt cực đại khi lợi nhuận biên bằng 0
Lợi nhuận biên là đạo hàm của hàm lợi nhuận. Tại điểm sản lượng lợi nhuận biên bằng 0, doanh thu biên = chi phí biên.